Une aproche différente de l'octaèdre

Peuplier
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Une aproche différente de l'octaèdre

Messagepar Peuplier » mer. juil. 11, 2007 2:22 pm

Bonjour,

L'octaèdre régulier est un polyèdre à huit faces identiques. Chaque face est un triangle équilatéral. Au total, c'est comme si on opposait deux pyramides comme la pyramide de Kéops sur leur base carrée.

Certains ont eu l'idée surprenante de couper cet octaèdre en 16 parties égales en cinq plans de coupe : un horizontal (séparant les bases carrées, et quatre verticaux sur les médianes et les diagonales. Une image pour visualiser :

Image

Par exemple, un des seize tétraèdre a pour sommets E, I, B, et le centre de l'octaèdre O. Ses arrêtes seraient OB, OI, OF, BF, BI.

De plus en plus surprenant, on peut créer une chaîne de 16 tétraèdres (un kaleïdocycle )qui une fois correctements assemblés réaliseront un octaèdre.

C'est un peu le même genre que le cube mystérieux que j'avais présenté ici

L'octaèdre se divise donc en 16 tétraèdres symétriques deux à deux (vois schéma plus haut, le tétraèdre EIBO est symétrique du tétraèdre EIAO). J'ai choisi, pour des raisons d'occupation de la feuille, de réaliser deux bandes de quatre tétraèdres par feuille. Il faudra donc imprimer deux fois le modèle. Vous obtenez quatre bandes similaires à celle-ci :

Image

Je vous donne la façon qui m'a semblé être la plus facile pour le réaliser, mais il existe d'autres façons de faire. Marquer les plis, découper, puis former chaque tétraèdre. Le plis séparant les triangles jaunes et le plis séparant les trianges rouges doivent être pré-pliés dans les deux sens.

Ensuite, coller les tétraèdres 2 et 3 en commençant par la face bleue, puis la face verte. Ensuite, assembler les bandes pour former un anneau. Coller les tétraèdres 1 et 4 de chaque bande. De préférence, alterner les collages de façon à bien laisseer sécher. On obtient ceci :

Image

En le pliant de la façon adéquate, on peut former un octaèdre.

Bon courage !

P.S. : pour ceux que les maths et la géométrie intéressent, le point de départ de cette réalisation consiste à déterminer la taille de chaque arrête du tétraèdre. Comme on part d'un octaèdre régulier, les arrêtes AB, BC, FB etc. sont toutes égales et on dira par convention que leur taille est égale à 1. Comme chaque face est un triangle équilatéral, les angles font 60° (les matheux puristes me pardonneront de ne pas parler en radian...).

Le plus simple, c'est le triangle IBF. IB fait la moitié d'une arrête de l'octaèdre, soit 0,5. IF est une des arrêtes de l'octaèdre, donc mesure 1. BF peut être déterminé par le théorème de Pytagore ou par projection de IF et fait 0,866 (rac(3)/2).

IO fait 0,5 (IJ est une médiane du carré ADCB). Pytagore nous aide pour déterminer FO : 0,707 (rac(2)/2).

IOF est un triangle équilatéral rectangle (l'angle droit est IÔF). Comme le grand côté mesure 1, les côtés IO et OF feront 0,707 (rac(2)/2).

La dernière face IOB est un traingle équilatéral rectangle, OÎB est l'angle droit et le grand côté OB fait 0,707 (rac2/2). Les deux autres font donc 0,5.
Fichiers joints
demiocta.pdf
Octaèdre divisé en 16 tétraèdres. Imprimer deux fois, assembler.
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Une feuille vous manque, et tout est peu plié

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Messagepar Peuplier » mer. sept. 03, 2008 2:36 pm

Bonjour,

Je vous propose une variante de ce pliage. Les languettes de collage ont été optimisées, et tous les traits de coupe et de pliage ont été déplacés en-dehors du tracé. Inconvénient, pour chaque trait, il faut bien repérer quelle est son orientation, où il commence et où il finit. Avantage, c'est plus joli.

La répartition des couleurs est totalement différente, et du coup les quatre quarts du pliage sont tous différents. Il faut les assembler dans l'ordre. Je fournis également un modèle à l'échelle (octaèdre régulier de 60 mm de côté).

Comme c'est un objet destiné à être manipulé, je colle préventivement un petit morceau d'adhésif transparent sur les pliures mobiles.

Voila l'objet une fois réalisé :

Image

Et voila le but du jeu : reproduire avec cet objet l'octaèdre modèle :

Image

Il y a un seul fichier pdf qui contient les trois pages, deux pages pour le puzzle et une page pour le modèle.

Bon courage, et n'hésitez pas à me faire part de vos commentaires, photos, idées de modifications...
Fichiers joints
octaèdre couleur.pdf
Octaèdre divisé en 16 tétraèdres réalisant un kaleïdocycle (une chaîne), et son modèle.
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