Octaèdre dans un cube, besoin d'aide

Des problèmes de constructions, de lecture, une aide particulière ?
Peuplier
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Octaèdre dans un cube, besoin d'aide

Message par Peuplier » mar. janv. 22, 2019 12:31 am

Bonjour,

J'ai posté sur ce forum un certain nombre de puzzles de cubes, par exemple ici. En partant de l'idée que les solides de Platon ont un solide dual, on peut construire l'image en perspective d'un octaèdre inscrit dans un cube. Je souhaiterais créer un puzzle d'un cube contenant un octaèdre et d'autres pièces pour le compléter.
forum_784615_2.png
On retrouve des problèmes de mathématiques concernant cette figure (elle provient d'un forum de mathématique, mais elle n'est pas complexe à reproduire). En général, on demande de calculer la part de l'occupation de l'octaèdre, ou la taille des arêtes par rapport au coté du cube.

En fait, je souhaiterais créer des polyèdres pour compléter l'octaèdre. Et je n'y arrive pas, je n'arrive pas à me figurer ce que seraient ces polyèdres. J'ai la vague idée qu'il doit être possible de faire des tétraèdres, mais je n'y arrive pas.

Y aurait-il un féru de géométrie sur le forum pour me donner un coup de main ? Ou peut-être pour retrouver quelqu'un qui se soit déjà intéressé au problème ? J'ai fouillé, mais comme je le dis, je n'ai pas trouvé de page qui traite de ce problème.

Merci.
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Re: Octaèdre dans un cube, besoin d'aide

Message par gwalch » mar. janv. 22, 2019 1:32 am

Petite réponse rapide, en espérant que cela aidera :
en gros si je comprends bien, tu veux remplir l'espace extérieur à l'octaèdre et compris dans le cube. Il te faut donc 8 pièces identiques qui correspondent à des cubes de coté 1/2 grand cube, dont on a enlevé un sommet en coupant 3 faces par la diagonale.
Le patron d'une telle forme comprendrait donc 7 faces dont 3 carrés (de coté égal à un demi coté de grand cube) 3 triangles rectangles isocèles et 1 triangle équilatéral (dont le coté correspond à la diagonale d'un carré ou encore à la longueur d'une arete de ton octaedre de départ). J'espère que je suis clair, sinon il faudra que je fasse un schéma...

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Re: Octaèdre dans un cube, besoin d'aide

Message par buzuc » mar. janv. 22, 2019 10:27 am

Il faudrait essayer avec un logiciel 3D et jouer avec les opérations booléennes.

Je testerai ce soir voir ce que ça donne...
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denis
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Re: Octaèdre dans un cube, besoin d'aide

Message par denis » mar. janv. 22, 2019 12:01 pm

Et dans une sphère? Tant qu'à se faire mal à la tête..
La solution expérimentale te permettrait de savoir physiquement à quoi ressemblent les pièces que tu veux faire. J'ai des formes géométriques de chez http://eggnot.com/paper/ (ça ne date pas d'aujourd'hui et je ne sais pas si ça existe encore) et plein par pepakura. En allant ici https://www.pinterest.com/pin/1407443606684151/ tu pourras en trouver beaucoup. Les sites ne manquent pas!
Il ne te restera qu'à chercher la dimension du cube dans lequel s'inscrira le solide. C'est plus facile que l'inverse, comme de savoir qui de l'œuf ou de la poule est le (la) premier(ère).
Bonne journée à toutes et tous

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Re: Octaèdre dans un cube, besoin d'aide

Message par buzuc » mar. janv. 22, 2019 7:42 pm

Voilà le résultat des opérations:
octaedre.png
LightWave3D_Content.zip
Fichier 3D .obj, fichier pepakura4 .pdo, fichier vecteur .svg
(2.79 Kio) Téléchargé 39 fois
Il y a trois fichiers dans le zip:
  • Le pdo extrait de pepakura 4
  • Le fichier 3D de base en .obj
  • Le fichier export en vectoriel du dépliage en .svg
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Re: Octaèdre dans un cube, besoin d'aide

Message par Peuplier » mer. janv. 23, 2019 3:39 pm

Merci pour vos réponses rapides. Je vais essayer de les exploiter et dessiner un patron.
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Re: Octaèdre dans un cube, besoin d'aide

Message par Peuplier » dim. janv. 27, 2019 11:53 am

buzuc a écrit :
mar. janv. 22, 2019 7:42 pm
Voilà le résultat des opérations :[...°
[*]Le fichier export en vectoriel du dépliage en .svg[/list]
Bonjour,

Je ne comprenais pas ce qu'était votre patron. Finalement, je l'ai imprimé et je l'ai découpé, et là j'ai compris : c'est le patron de la pièce dessinée en 3D, soit une des quatre pièces nécessaires pour compléter l'octaèdre. En fait, si j'ai buggé, c'est que je cherchais à dessiner la moitié de votre pièce. Du coup, j'ai modifié le dessin pour obtenir le dessin d'un des 8 coins qui complètent l'octaèdre inclus dans un cube.

Je ferai un post prochainement. J'ai imprimé un cube de 60 mm de côté, soit à peu près le plus grand cube que l'on puisse faire dans une page A4. J'ai imprimé l'octaèdre qui s'inclue dans ce cube. Le calcul donnait un octaèdre de 42,426 de côté mais j'ai pris de la marge, j'ai fait 42. J'ai imprimé les pièces, et c'est un peu à l'étroit. Il faut donc que j'ajuste.

Mais surtout, j'aimerais bien diviser cette pièce en pièces plus petites, et de préférence des tétraèdres...
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Re: Octaèdre dans un cube, besoin d'aide

Message par Peuplier » dim. janv. 27, 2019 5:49 pm

Ça y est j’ai trouvé. Je peaufine et je poste.
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Re: Octaèdre dans un cube, besoin d'aide

Message par Peuplier » lun. janv. 28, 2019 1:15 am

Bon, je reprends. Avec l'aide de gwalch et buzuc, j'ai réussi à visualiser puis réaliser les huit pièces qu'il faut ajouter à un octaèdre pour obtenir un cube. J'ai un peu modifié le fichier proposé par buzuc : je l'ai coupé en deux, et j'ai modifié les languettes de collage. Dans sa version définitive, j'ai défini les surfaces et les traits mais je fais des traits invisibles. Du coup, je rajoute des repères pour chaque trait, de découpe ou de pliage. Ça donne ceci (avec les traits visibles) :
complément octa cube 2.jpg
Comme je l'avais dit, ce n'était qu'une victoire d'étape. Mon objectif dès le départ était de découper ces pièces en tétraèdres. Et en fait, la solution m'est apparue parce que il y a quelques années, j'avais réalisé des puzzles de cube en 5, 6, 10, 14, 15 ou 16 pièces (en voici trois). Le principe de départ était de compléter un tétraèdre régulier par 4 tétraèdres pour obtenir un cube. Eh bien, les pièces qui complètent l'octaèdre pour obtenir le cube sont tout simplement des cubes auxquels on a enlevé un tétraèdre.

En attendant de tout construire, je vous poste l'étape intermédiaire : un fichier pdf contenant un cube (j'ai fait à peu près le plus grand possible sur une feuille A4, soit 62 mm de côté), un octaèdre, et une planche de 4 compléments (il faudra donc imprimer deux fois la planche contenant quatre pièces). Comme d'habitude, je n'imprime pas les contours, mais je mets des repères. Et pour pouvoir comprendre un peu mieux, je mets une miniature de la pièce avec les traits.

Il me reste donc deux étapes : construire les compléments de l'octaèdre divisés en tétraèdres de la bonne dimension, et éventuellement y installer un décor, comme je l'avais fait par exemple pour les puzzles de tétraèdres avec des cœurs.
Ocxtaèdre dans cube.pdf
Une boîte cubique, un octaèdre, et une planche à imprimer deux fois des compléments de l’octaèdre pour obtenir un cube.
(656.36 Kio) Téléchargé 25 fois
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Re: Octaèdre dans un cube, besoin d'aide

Message par Peuplier » mer. janv. 30, 2019 1:10 am

Bonjour,

Je continue de m'amuser avec mon cube. J'ai découpé les « coins » en trois tétraèdres irréguliers et un tétraèdre régulier. J'ai découpé le tétraèdre régulier en deux. Et au passage, on peut découper l'octaèdre en huit tétraèdres irréguliers (il suffit de le couper trois fois). Mais là, ça revient aussi à placer dans le cube huit cubes ayant pour taille la moitié du côté du cube de départ, et à diviser les cubes comme je l'ai fait dans les puzzles de cube.

Au total, on peut avoir un octaèdre, 8 tétraèdres réguliers, et 24 tétraèdres irréguliers. Et si on est joueur, on divise l'octaèdre en 16 tétraèdres, les tétraèdres réguliers en quatre pièces, les tétraèdres irréguliers en 3, ce qui fait (1 x 16) + (8 x 4) + (3 x 24) = 120 pièces !

Je ne sais pas encore quelle sera la présentation finale. Je pense faire plusieurs cubes de la même taille contenant chacun de plus en plus de pièces. Ou un seul cube, mais où la division des pièces n'est pas la même.
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Re: Octaèdre dans un cube, besoin d'aide

Message par Peuplier » dim. févr. 03, 2019 2:06 am

Bon, eh bien j'ai bricolé un nouveau bébé. Dans la suite logique de la projection cartographique sur un octaèdre divisé en 16 tétraèdres, je vous propose un hexaTerre, un cube recouvert d'une projection cartographique. Ce cube contient un octaTerre (pour l'instant en une seule pièce, mais je songe à compliquer les choses ;-) et huit cubes tronqués également recouverts d'un morceau de projection cartographique. Le tout une fois reconstitué fait un cube.

Comment ça, que dites-vous ? C'est pas clair ? Bon, eh bien je reviendrai avec des photos.
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Re: Octaèdre dans un cube, besoin d'aide

Message par Peuplier » dim. févr. 03, 2019 4:27 pm

Après réduction de la taille, je peux poster le fichier pdf. Le fichier comprend l'octaèdre avec projection cartographique de la Terre prévu pour s'inclure dans le cube, les huit cubes tronqués également décorés prévus pour compléter l'octaèdre, et le cube décoré prévu pour être la boîte qui contiendra l'octaèdre et les huit cubes tronqués.

La réalisation ne pose pas de problème, imprimer, marquer les plis, découper, plier, coller.

Si vous le souhaitez, les fichiers pdf ne sont pas protégés. J'ai laissé en arrière-plan les numéros de repérage du cube et de ses compléments. Ainsi, vous pouvez réaliser ce cube avec les images qui vous conviennent. Il suffit de découper les images en morceaux et de remplacer les morceaux de Terre par les morceaux de vos images.

Edit : le fichier à télécharger a été mis à jour et se trouve un peu plus bas.
Modifié en dernier par Peuplier le lun. févr. 18, 2019 12:12 am, modifié 1 fois.
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Re: Octaèdre dans un cube, besoin d'aide

Message par Peuplier » dim. févr. 03, 2019 5:25 pm

Deux photos pour mieux se représenter les choses. Le cube décoré ou HexaTerre, l'OctaTerre, et les huit cubes tronqués pour compléter l'octaèdre.
HexaTerre.jpg
Les cubes tronqués peuvent se diviser en quatre tétraèdres, et chaque tétraèdre peut se diviser également. Un morceau du cube reconstitué, et des pièces à ajouter.
IMG_1310.JPG
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Re: Octaèdre dans un cube, besoin d'aide

Message par Peuplier » lun. févr. 18, 2019 12:11 am

Mise à jour et amélioration. Toutes les faces de toutes les pièces sont recouvertes, ce qui est plus joli. La première page, c'est la boîte. La deuxième page, c'est l'octaTerre divisé en quatre parties. Les deux pages suivantes, ce sont les huit compléments qu'il faut ajouter à l'octaèdre pour former un cube.
OctaTerre dans hexaTerre.pdf
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Re: Octaèdre dans un cube, besoin d'aide

Message par Peuplier » dim. mars 03, 2019 1:43 am

Deux photos pour montrer comment on peut diviser les pièces. L'octaèdre est ici divisé en 4 tétraèdres. Pour composer les coins, il y a les tétraèdres réguliers, et des tétraèdres irréguliers. On peut diviser les tétraèdres irréguliers en deux pentaèdres. Et les tétraèdres irréguliers peuvent se diviser en deux tétraèdres. Au total, cinq types de pièces.
IMG_1426.JPG
Toutes les pièces ne sont pas divisées. Donc au total, il y a une quarantaine de morceaux à faire entrer dans le cube.


IMG_1416.JPG
Et ça fait la deuxième fois que mes photos se retrouvent à l'envers. Et je ne sais pas pourquoi. J'ai même tenté de les retourner avant de les transférer, et ça fait pareil. Mystère...
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