Division de l’icosaèdre

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Division de l’icosaèdre

Message par Peuplier » dim. nov. 10, 2019 1:24 am

Bonjour,

Je l'ai annoncé dernièrement ici. Eh bien voilà, je l'ai terminé ! J'ai divisé un icosaèdre en vingt tétraèdres, et j'ai recouvert le tout d'une projection cartographique de la Terre.

J'ai commencé par réaliser un modèle avec des faces vierges. La première question a été de déterminer quelle devaient être les dimensions des faces. Eh oui, un icosaèdre régulier a vingt faces qui sont des triangles équilatéraux. Mais l'assemblage de tétraèdres réguliers ne fonctionne pas.

Pareil que pour le dodécaèdre, j'ai fait le calcul du volume de l'icosaèdre, j'ai divisé ce volume par 20, et j'ai déterminé quelle était la hauteur d'un tétraèdre ayant une base de triangle équilatéral : si la base mesure 100, la hauteur doit faire 75,576.

Pour assembler les tétraèdres, j'ai utilisé la même technique que pour le dodécaèdre : recouvrir les faces qui porteront les adhésifs d'un morceau d'adhésif en rouleau (celui qui sert à protéger les livres), et placer entre deux pièces un morceau du même adhésif roulé sur lui-même (et qui réalise un adhésif double-face). La nouveauté entre les deux maquettes, c'est que j'ai préparé un gabarit pour découper l'adhésif. Et comme les faces de contact étaient déjà repérées, j'ai pu coller l'adhésif avant de former les tétraèdres.
IMG_2680-small.JPG


Une fois qu'on dispose d'un modèle avec des faces vierges, choisir le modèle d'icosaèdre, et numéroter les faces.
icosaedre terre st numéros faces-small.jpg
J'ai extrait du modèle une image de chaque face que j'ai enregistré au format GIF (pour ne pas me compliquer la vie avec les transparences).

Ensuite, il faut démonter le modèle vierge et fabriquer les vingt tétraèdres. Sur chaque tétraèdre, il y a un numéro entouré d'un cercle, c'est le numéro de la pièce. Sur certaines faces des pièces, il y a un numéro, et il faut assembler par exemple la face marquée « 2 » avec la face marquée « 2’ ». Par exemple, cette photo montre la pièce n° 20 (en arrière-plan sur la droite, le gabarit qui sert à découper l'adhésif transparent, derrière). J'ai recouvert les trois faces blanches. La face marquée « 15 » s'assemblera avec la face marquée « 15’ ». Idem pour les faces marquées 1’ et 5’, qui s'assembleront respectivement avec les faces marquées 1 et 5.
IMG_2681-small.JPG
Voici un des tétraèdres construit, le n° 19. On constate qu'en l'accolant au tétraèdre 20, on reconstitue l'Antartique.
IMG_2683-small.JPG
Voici la maquette en cours de réalisation.
IMG_2686-small.JPG

Je n'ai pas encore réalisé les pdf, je posterai les planches à découper prochainement.
Modifié en dernier par Peuplier le dim. nov. 10, 2019 11:44 am, modifié 1 fois.
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Re: Division de l’icosaèdre

Message par Michel cerfvoliste » dim. nov. 10, 2019 10:37 am

Le résultat va être superbe !

Bonne suite et bon dimanche, Michel
En cours : Char du carnaval 2021
Quelques modèles de HY
Mon album : http://www.maquettes-papier.net/galerie ... ?cat=10339

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Re: Division de l’icosaèdre

Message par Peuplier » dim. nov. 10, 2019 12:06 pm

La suite... Le nombre de photos doit être limité par message, et du coup je ne m'étais pas rendu compte que la dernière photo n'était pas passée. Voici la maquette réalisée, à côté de son modèle.
IMG_2689-small.JPG
Et voici les planches à imprimer et découper. J'ai placé six tétraèdres par feuille, ce qui fait que la dernière n'en contient que deux. J'ai laissé les quatre autres tétraèdres en blanc, mais avec les traits visibles. Ça peut servir de modèle pour comprendre où sont les traits à plier et à découper. On peut le découper et évider une partie des triangles isocèles pour faire un gabarit et découper plus facilement l'adhésif pour recouvrir les faces. La dernière planche, c'est le modèle.

Comme indiqué ci-dessus, les numéros entourés d'un cercle sont les numéros des pièces, de 1 à 20. Les flèches indiquent la direction du haut de la maquette, par convention le Pôle Nord. Les numéros non entourés d'un cercle permettent d'appairer les faces devant être en contact, en associant la face marquée d'un 1 avec la face marquée d'un 1’, et ainsi de suite.

Amusez-vous bien !

P.S. : je me pose la question de la réalisation d'un kaleïdocycle, c'est-à-dire une chaîne de tétraèdres, comme je l'avais fait avec l'octaèdre.
IcosaTerre divisé en 20.pdf
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Re: Division de l’icosaèdre

Message par Peuplier » dim. nov. 10, 2019 5:56 pm

Peuplier a écrit :
dim. nov. 10, 2019 12:06 pm
P.S. : je me pose la question de la réalisation d'un kaleïdocycle, c'est-à-dire une chaîne de tétraèdres, comme je l'avais fait avec l'octaèdre.
Bonjour,

Je viens de faire un test. Il devrait être possible de faire quatre chaînes de tétraèdres que l'on superposerait pour faire l'octaèdre. Je ne sais pas encore si on peut fermer les chaînes, ni si on peut faire une seule chaîne. Je mets une petite image pour montrer ce que ça donne (mais il y a encore des choses à revoir).

À suivre...

P.S. : j'avais déjà signalé le problème, puis ça s'était résolu, et ça revient à nouveau, je ne dispose pas du bouton « remercier ».

Tétraèdre icosa st kaleido 2-small.jpg
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Re: Division de l’icosaèdre

Message par Peuplier » mer. janv. 01, 2020 6:28 pm

Bon, après quelques tribulations, je reviens avec le résultat. il est possible de diviser l'icosaèdre en quatre chaînes de cinq tétraèdres. On peut fermer les chaînes, mais elle ne seront plus mobiles. Donc j'ai gardé le schéma précédent, cinq tétraèdres attachés à la suite l'un de l'autre. Voici le schéma d'une chaîne.

Tétraèdre icosaTerre 1 4f modèle-small.jpg

Les numéros inscrits dans des cercles sur les faces sont les numéros des faces, se référer au schéma posté en début de post (10 novembre 2019). Les flèches aident à l'orientation, et indiquent toujours le Nord (ou le haut de l'icosaèdre dans sa position de référence).

Ensuite, il faut importer les images des faces, et ça se complique un peu... Il y a cinq faces qui seront à l'extérieur et qui sont des triangles équilatéraux. Là, c'est assez simple. En opposition à ces faces, un triangle isocèle dont la hauteur est 87,268 % de la hauteur du triangle équilatéral. Il suffit de réduire la hauteur en faisant une mise à l'échelle dissociée. Pour les deux autres triangles, c'est un peu plus compliqué, puisqu'ils ont aussi une hauteur de 87,268 % (ou bien la longueur des deux autres côtés est de 90,62 % de la longueur de la base, ce qui revient au même), mais le côté qui forme la base n'est pas horizontal. Il faut donc d'abord déterminer quel est le côté qui doit être la base, tourner l'image de façon à ce que la base soit vers le bas, utiliser la mise à l'échelle dissociée, puis refaire tourner le triangle, et enfin le faire tourner de l'angle qui convient pour qu'il puisse s'insérer au dessin.

Comme toujours, j'ai placé des repères pour la découpe et le marquage des plis, et ces repères sont à l'extérieur du dessin. Ça évite d'être obligé de marquer en noir les limites des faces, ce qui serait disgracieux.

La suite une autre fois...
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Re: Division de l’icosaèdre

Message par A.R.T. » dim. janv. 05, 2020 6:03 am

Joli projet !
Bravo,
Anne.
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Re: Division de l’icosaèdre

Message par Peuplier » dim. janv. 05, 2020 6:37 pm

Voilà ce que ça donne. Avec une chaîne de tétraèdres, je réalise l'Antarctique :
IMG_2959-1.jpg
Une chaîne supplémentaire pour compléter l'hémisphère Sud :
IMG_2960-1.jpg
De la même façon, on assemble l'hémisphère Nord :
IMG_2961-1.jpg
Et en assemblant les quatre chaînes, on reconstitue l'icosaèdre recouvert d'une projection de la Terre :
IMG_2962-1.jpg
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Re: Division de l’icosaèdre

Message par Peuplier » dim. janv. 05, 2020 6:56 pm

Voici le document à imprimer. Sur chaque feuille, le document à découper (après marquage des plis, comme d'habitude). Et un modèle, pour se repérer. C'est du pdf, mais si on l'ouvre avec Illustrator, on retrouve la possibilité de le modifier, éventuellement en sélectionnant les différents éléments (traits, surfaces, images, repères…).

Les planches sont numérotées, et le numéro de chaque pièce est reporté sur une languette de collage (à gauche). Attention, certains plis sont à marquer dans les deux sens (montagne et vallée). Habituellement, lors de l'assemblage, je travaille successivement sur chaque chaîne, pour laisser le temps à la colle de bien sécher (mais vous savez déjà tout ça).

Amusez-vous bien !


IcosaTerre 4 chaînes.pdf
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